Question

已知函数f（x）=x³+ax²-9x-1（a＜0），其导函数满足：f^′（x）≥f^′（b）=-12．
求：（Ⅰ）a、b的值；
（Ⅱ）函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（I）由于f（x）=x³+ax²-9x-1，求导数f′（x）=3x²+2ax-9，利用二次函数的性质研究其最小值，得出当x=-

a

3

时，f′（x）取得最小值-9-

a 2

3

，从而列式求得a，b的值；
（II）求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数大于0求出x的范围，写出区间形式即得到函数的单调递减区间．

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=x³+ax²-9x-1，
所以f′（x）=3x²+2ax-9，
即当x=-

a

3

时，f′（x）取得最小值-9-

a 2

3

，
由题意得-9-

a 2

3

=-12，
⇒a=-3，b=-

a

3

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）a=-3，∴f（x）=x³-3x²-9x-1，
f′（x）=3x²-6x-9，
由于x∈（-1，3）时
f′（x）＜0，
所以（-1，3）是f（x）的单调递减区间．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性．求函数的单调区间的问题，一般求出导函数，令导函数大于0求出x的范围为单调递增区间；令导函数小于0求出x的范围为单调递减区间；注意单调区间是函数定义域的子集．