Question

【题目】如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.

（1）证明:∥平面.

（2）设二面角为，，，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

(1)连结交于点，连结. 根据四边形为矩形，所以为的中点，为的中点，利用三角形的中位线可得∥，再利用线面平行的判定定理证明.

(2) 根据平面，四边形为矩形，建立空间直角坐标系.设，再求得平面DAE， 平面CAE的法向量，根据二面角为，利用，解得.，然后利用锥体体积公式求解.

(1)连结交于点，连结.

因为四边形为矩形，所以为的中点，

又为的中点，所以∥，

且平面，平面，所以∥平面.

(2) 因为平面，四边形为矩形，所以两两垂直，

以为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，为单位长，建立空间直角坐标系.

设，则，

所以，

设为平面的法向量，则，

可取 ，

又为平面的一个法向量，由题设知

即，解得.

因为为的中点，设为的中点，

则∥，且，⊥面，

故有三棱锥的高为，

三棱锥的体积

所以三棱锥的体积为.