Question

已知函数f(x)对任意x、y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)=-2.

(1)判断函数f(x)的奇偶性.

(2)当x∈［-3，3］时，函数f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，请说明理由.

Answer 1

思路分析：本题中的函数f(x)是抽象函数，则用定义法判断它的奇偶性和单调性.(1)首先利用赋值法求得f(0)，再利用定义法判断f(x)的奇偶性；(2)利用定义法判断函数f(x)在［-3，3］内的单调性，利用单调法求出最值.

解：(1)∵f(x+y)=f(x)+f(y)，

∴f(0)=f(0)+f(0)f(0)=0.

而0=x-x，因此0=f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)，

即f(x)+f(-x)=0f(-x)=-f(x).

∴函数f(x)为奇函数.

(2)设x₁＜x₂，由f(x+y)=f(x)+f(y),知

f(x₂-x₁)=f(x₂)+f(-x₁)=f(x₂)-f(x₁)，∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0.

又当x＞0时，f(x)＜0，

∴f(x₂-x₁)=f(x₂)-f(x₁)＜0.∴f(x₂)＜f(x₁).∴f(x₁)＞f(x₂).

∴函数f(x)是定义域上的减函数，当x∈［-3，3］时，函数f(x)有最值.

当x=-3时，函数有最大值f(-3)；当x=3时，函数有最小值f(3).

f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-6，f(-3)=-f(3)=6.

∴当x=-3时，函数有最大值6；当x=3时，函数有最小值-6.