题目内容

函数f（x）=2cos²x+sin2x-1，给出下列四个命题：
①函数在区间 $数学公式$ 上是减函数；
②直线 $数学公式$ 是函数图象的一条对称轴；
③函数f（x）的图象可由函数 $数学公式$ 的图象向左平移 $数学公式$ 个单位长度而得到；
④若 $数学公式$ ，则f（x）的值域是 $数学公式$ ．
其中所有正确命题的序号是________．

①②④
分析：化简函数为同角同名函数，利用2cos²x-1=cos2x，sin2x+cos2x=）= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）．再利用正弦函数的性质，对称轴方程x=kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z；递减区间为[2kπ+ $\text{[math]}$ ，2kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z，及函数图象的变化规律解决．
解答：首先对函数进行化简，f（x）=2cos²x+sin2x-1=sin2x+cos2x= $\text{[math]}$ （sin2xcos $\text{[math]}$ +cos2xsin $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）．
对①，令2x+ $\text{[math]}$ =kπ+ $\text{[math]}$ ，得对称轴方程x= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，k∈z，∴②正确；
对①，令2kπ+ $\text{[math]}$ ＜2x+ $\text{[math]}$ ＜2kπ+ $\text{[math]}$ ，得 kπ+ $\text{[math]}$ ＜x＜kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z．函数的递减区间为[kπ+ $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z，∴①√；
对③，平移的单位应是 $\text{[math]}$ ，∴③×．
对④，当x∈[0， $\text{[math]}$ ]时f（x）单调递增，当x∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]时单调递减，f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，f（ $\text{[math]}$ ）=-1∴值域是[-1， $\text{[math]}$ ]，∴④√．
故答案是①②④
点评：牢记三角函数的性质及图象变化规律，利用整体代入求解复合函数的对称轴、单调区间、值域是本题的关键．