题目内容
PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，且PA=AB=BC，则异面直线PB与AC所成角等于
．
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
分析：作图，分别取PA、AB、BC的中点D、E、F，连结DE、DF、EF、AF，则DE‖PB，EF‖AC，所以∠DEF或其补角即为所求，设PA=AB=BC=1，利用勾股定理及余弦定理即可求得cos∠DEF，从而求得∠DEF，根据异面角与其关系即可求得答案．
解答：
解：如图所示：分别取PA、AB、BC的中点D、E、F，连结DE、DF、EF、AF，则DE‖PB，EF‖AC，所以∠DEF或其补角即为所求，
不妨设PA=AB=BC=1，∵PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，∴△PAB，△ABC均为Rt△，
所以DE=EF=
，DF=
=
=
，
根据c2=a2+b2-2abcosC可得cos∠DEF=
=
=-
，
所以∠DEF=
，
所以PB与AC的夹角为
．
故答案为：
．
解：如图所示：分别取PA、AB、BC的中点D、E、F，连结DE、DF、EF、AF，则DE‖PB，EF‖AC，所以∠DEF或其补角即为所求，不妨设PA=AB=BC=1，∵PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，∴△PAB，△ABC均为Rt△，
所以DE=EF=
| ||
| 2 |
| DA2+AF2 |
| DA2+AB2+BF2 |
| ||
| 2 |
根据c2=a2+b2-2abcosC可得cos∠DEF=
| DE2+EF2-DF2 |
| 2DE•EF |
| ||||||||
2×
|
| 1 |
| 2 |
所以∠DEF=
| 2π |
| 3 |
所以PB与AC的夹角为
| π |
| 3 |
故答案为：
| π |
| 3 |
点评：本题考查线面垂直的性质及异面角的求解，异面角的常用求解方法有：①平移法：通过平移直线把空间角转化为平面角求解，其步骤为：一作、二证、三求；②向量法：转化为相应直线的方向向量的夹角求解；注意异面角的范围：（0，
]．
| π |
| 2 |
练习册系列答案
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21、如图所示，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N．
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