Question

（2011•顺义区二模）已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=

1

2

AB，N为AB
上一点，AB=4AN，M，D，S分别为PB，AB，BC的中点．
（1）求证：PA∥平面CDM；
（2）求证：SN⊥平面CDM；
（3）求二面角D-MC-N的大小．

Answer 1

分析：（1）在三棱锥P-ABC中，由M，D，分别为PB，AB的中点，知MD∥PA，由此能够证明PA∥平面CMD．
（2）因为M，D，分别为PB，AB的中点，所以MD∥PA．因为PA⊥平面ABC所以MD⊥平面ABC，又SN?平面ABC，所以MD⊥SN．设PA=1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），M(1，0，

1

2

)，N(

1

2

，0，0)，S(1，

1

2

，0)，由向量法能够证明SN⊥平面CMD．
（3）

SN

=(-

1

2

，-

1

2

，0)是面CMD的一个法向量，设面MCN的法向量

n

=(x，y，z)，由

n

•

CM

=0，

n

•

CN

=0，得到

n

=(-1，-

1

2

，1)，由此能求出二面角D-MC-N的大小．

解答：（1）证明：在三棱锥P-ABC中，
因为M，D，分别为PB，AB的中点，所以MD∥PA，
因为MD?平面CMD，PA?平面CMD，
所以PA∥平面CMD．
（2）证明：因为M，D，分别为PB，AB的中点，
所以MD∥PA，
因为PA⊥平面ABC所以MD⊥平面ABC，
又SN?平面ABC所以MD⊥SN．…（6分）
设PA=1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系．如图所示，
则P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），
M(1，0，

1

2

)，N(

1

2

，0，0)，S(1，

1

2

，0)，
所以

CM

=(1，-1，

1

2

)，

SN

=(-

1

2

，-

1

2

，0)，
因为

CM

•

SN

=-

1

2

+

1

2

+0=0，
所以CM⊥SN．…（9分）
又CM∩MD=M，
所以SN⊥平面CMD．…（10分）
（3）解：由（2）知，

SN

=(-

1

2

，-

1

2

，0)是平面CMD的一个法向量，
设平面MCN的法向量

n

=(x，y，z)，则

n

•

CM

=0，

n

•

CN

=0，
即

(x，y，z)•(1，-1 1 2 )=0 (x，y，z)•( 1 2 ，-1，0)=0

，
所以

x=-z y=- 1 2 z

，令z=1，则x=-1，y=-

1

2

，
所以

n

=(-1，-

1

2

，1)，
从而cos?

n

，

SN

＞=

n • SN

| n || SN |

=

2

2

，
因为二面角D-MC-N为锐角．
所以二面角D-MC-N的大小为

π

4

．…..（14分）

点评：本题考查PA∥平面CDM的证明，求证SN⊥平面CDM，求二面角D-MC-N的大小．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．