Question

已知定点A (p为常数，p>0)，B为x轴负半轴上的一个动点，动点M使得|AM|＝|AB|，且线段BM的中点G在y轴上．

(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)设EF为曲线C的一条动弦(EF不垂直于x轴)，其垂直平分线与x轴交于点T(4,0)，当p＝2时，求|EF|的最大值．

Answer 1

（1）y²＝2px(p>0，x≠0)（2）6.

(1)设M(x，y)，则BM的中点G的坐标为，B(－x,0)．
又A，故＝，＝.
由题意知GA⊥GM，所以＝0，
即＝0，所以y²＝2px.
因为M点不能在x轴上，故曲线C的方程为y²＝2px(p>0，x≠0)．
(2)设弦EF所在直线方程为
y＝kx＋b，E(x₁，y₁)，F(x₂，y₂)．
由得k²x²＋(2kb－4)x＋b²＝0，①
则x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.则线段EF的中点为，线段EF的垂直平分线的方程为：
y－＝－.令y＝0，x＝4，得－＝－.
得bk＝2－2k².所以|EF|²＝(1＋k²)·(x₁－x₂)²＝(1＋k²)·[(x₁＋x₂)²－4x₁x₂]＝(1＋k²) ＝16(1＋k²)·＝16(1＋k²)·＝16＝－16²＋36.
由①，Δ＝(2kb－4)²－4k²b²＝4k²b²－16kb＋16－4k²b²＝16－16kb＝16－16(2－2k²)＝32k²－16>0.
得k²>，即0<<2.
所以，当＝，即k＝±时，|EF|²取得最大值，最大值等于36，即|EF|的最大值为6.