Question

以F₁(0 ，-1)，F₂(0 ，1)为焦点的椭圆C过点P(，1)．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点S(，0)的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T ? 若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解： （Ⅰ）设椭圆方程为(a>b>0)，由已知c =1，

又2a= .   则a=,b²=a²-c²=1，

椭圆C的方程是+ x² =1.                。。。。。。。。。。。。。。。4分

  （Ⅱ）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x²+y²=1,

若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是(x+)²+y²=．

由解得即两圆相切于点(1，０)．因此所求的点T如果存在，只能是(1，0)． 事实上，点T(1，０)就是所求的点．证明如下： 。。6分

当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T(1，0)．若直线l不垂直于x轴，可设直线l：y=k(x+)．由即(k²+2)x²+k²x+k²-2=0.记点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则又因为=(x₁1, y₁), =(x₂1, y₂),·=(x₁1)(x₂1)+y₁y₂=(x₁1)(x₂1)+k²(x₁+)(x₂+)=(k²+1)x₁x₂+(k²1)(x₁+x₂)+k²+1=(k²+1) +(k²1) + +1=0，则TA⊥TB，故以AB为直径的圆恒过点T(1，0)．所以在坐标平面上存在一个定点T(1，0)满足条件．   。。。。。。。。。。。。。。。。12分