Question

在平面直角坐标系xOy中，有一个以F₁(0,-)和F₂(0,)为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量=.

求：（1）点M的轨迹方程；

（2）||的最小值.

Answer 1

解：(1)椭圆方程可写为=1,式中a＞b＞0,且得a²=4,b²=1,所以曲线C的方程为x²+=1(x＞0,y＞0).

y=(0＜x＜1),y′=-，

设P(x₀,y₀),因P在C上,有0＜x₀＜1,y₀=,y′|_x=x0=-,得切线AB的方程为y=- (x－x₀)+y₀.设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得 x=,y=.

由=得M的坐标为(x,y),

由x₀,y₀满足C的方程,得点M的轨迹方程为=1(x＞1,y＞2).

(2)∵||²=x²+y²,y²==4+,∴||²= x²-1++5≥4+5=9.

且当x²-1=,即x=＞1时,上式取等号.故||的最小值为3.