Question

已知函数f(x)=4x+

1

x

．
（1）求函数y=f（x）-4的零点；
（2）证明函数f（x）在区间(

1

2

，+∞)上为增函数．

Answer 1

分析：（1）求函数零点转化为函数图象与x交点的横坐标，即f（x）-4=0，得4x+

1

x

-4=0，故可解；
（2）利用单调性的定义进行证明：设x₁，x₂是区间(

1

2

，+∞)上的任意两个实数，且x₁＞x₂，推证f（x₁）＞f（x₂），即可．

解答：解（1）因为f(x)-4=4x+

1

x

-4，令f（x）-4=0，得4x+

1

x

-4=0，
即4x²-4x+1=0，解得x=

1

2

．
所以函数y=f（x）-4的零点是

1

2

．
（2）设x₁，x₂是区间(

1

2

，+∞)上的任意两个实数，且x₁＞x₂，
则f(x1)-f(x2)=4x1+

1

x1

-(4x2+

1

x2

)=4(x1-x2)

x1x2- 1 4

x1x2

，
由x1＞x2＞

1

2

，得x1x2＞

1

4

，
又由x₁＞x₂，得x₁-x₂＞0，所以4(x1-x2)

x1x2- 1 4

x1x2

＞0，
于是f（x₁）＞f（x₂），
所以函数f（x）在区间(

1

2

，+∞)上为增函数．

点评：本题综合函数零点、函数的单调性，应注意理解函数零点的含义，掌握单调性证明的步骤．