题目内容
函数f（x）=-x3+3x2，设g（x）=6lnx-f′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数），若曲线y=g（x）在不同两点A（x1，g（x1））、B（x2，g（x2））处的切线互相平行，且
≥m恒成立，求实数m的最大值．
| g(x1)+g(x2) |
| x1+x2 |
∵f′（x）=-3x2+6x，∴g（x）=6lnx-f′（x）=6lnx+3x2-6x
∴g′（x）=
+6x-6
依题意有g′（x1）=g′（x2）且x1≠x2，
即
+6x1-6=
+6x2-6
∴x1x2=1
∴
=
=
=3（x1+x2）-
-6
令x1+x2=t，则t＞2，∵φ（t）=3t-
-6在（2，+∞）上单调递增
∴φ（t）＞φ（2）=-3
∴
＞-3
∴m≤-3
∴实数m的最大值为-3．
∴g′（x）=
| 6 |
| x |
依题意有g′（x1）=g′（x2）且x1≠x2，
即
| 6 |
| x1 |
| 6 |
| x2 |
∴x1x2=1
∴
| g(x1)+g(x2) |
| x1+x2 |
6ln(x1x2)+3
| ||||
| x1+x2 |
3
| ||||
| x1+x2 |
=3（x1+x2）-
| 6 |
| x1+x2 |
令x1+x2=t，则t＞2，∵φ（t）=3t-
| 6 |
| t |
∴φ（t）＞φ（2）=-3
∴
| g(x1)+g(x2) |
| x1+x2 |
∴m≤-3
∴实数m的最大值为-3．
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