Question

5．已知函数g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$．
（1）求g（x）的单调区间和最小值；
（2）若f（x）=g（x）-g（$\frac{1}{x}$），证明f（x）在（0，+∞）上有且仅有一个零点．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，进而得到最小值；
（2）求出f（x）的解析式和导数，判断单调性，再由零点存在定理，即可得证．

解答 解：（1）函数g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$的导数为g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减．
即有g（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1），
g（x）的最小值为g（1）=1；
（2）证明：f（x）=g（x）-g（$\frac{1}{x}$）=2lnx-x+$\frac{1}{x}$，x＞0，
f′（x）=$\frac{2}{x}$-1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=-$\frac{（x-1）^{2}}{{x}^{2}}$≤0，
f（x）在R上递减，
由f（e）=2-e+$\frac{1}{e}$，f（$\frac{1}{e}$）=-2-$\frac{1}{e}$+e=-f（e），
可得f（e）f（$\frac{1}{e}$）＜0，
由函数的零点存在定理，可得
f（x）（0，+∞）上有且仅有一个零点．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和最值，考查函数的零点的判断，注意运用函数的单调性和零点存在定理，考查运算能力，属于中档题．