题目内容

（1）求函数y=
1
(1-3x)4
的导数．
（2）求函数f（x）=
x3，x∈[0，1]
x2，x∈(1，2]
2x，x∈(2，3]
在区间[0，3]上的积分．
分析：（1）利用导数的运算法则即可求得；
（2）利用定积分对区间的可加性可得答案；
解答：解：（1）y=（3x-1）-4，
所以y′=-4（3x-1）-5•3=-
12
(3x-1)5
；
所以y′=-4（3x-1）-5•3=-
12
(3x-1)5
，；
（2）所以
∫
3
0
f(x)dx=
∫
1
0
f(x)dx
+∫
2
1
f(x)dx
+∫
3
2
f(x)dx
=
∫
1
0
x3dx
+∫
2
1
x2dx
+∫
3
2
2xdx
=
1
4
x4
|
1
0
+
1
3
x3
|
2
1
+
1
ln2
•2x
|
3
2

=
1
4
+
7
3
+
4
ln2

=
31
12
+
4
ln2
．
点评：本题考查导数的运算法则、定积分的运算性质，属基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的图象和y轴交于（0，1）且y轴右侧的第一个最大值、最小值点分别为P（x0，2）和Q（x0+3π，-2）．
（1）求函数y=f（x）的解析式及x0；
（2）求函数y=f（x）的单调递减区间；
（3）如果将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
3
（纵坐标不变），然后再将所得图象沿x轴负方向平移
π
3
个单位，最后将y=f（x）图象上所有点的纵坐标缩短到原来的
1
2
（横坐标不变）得到函数y=g（x）的图象，写出函数y=g（x）的解析式并给出y=|g（x）|的对称轴方程．
已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(-3，
3
)．
（1）求行列式
.
sinαtanα
1cosα
.
的值；
（2）若函数f（x）=cos（x+α）cosα+sin（x+α）sinα（x∈R），
求函数y=
3
f(
π
2
-2x)+cos2x+1的最大值，并指出取到最大值时x的值．
已知函数f(x)=2x+
b
x
+c其中b，c为常数且满足f（1）=5，f（2）=6．
（1）求b，c的值；
（2）证明：函数f（x）在区间（0，1）上是减函数；
（3）求函数y=f(x)，x∈[
1
2
，3]的值域．
已知函数f（x）=Asinωx+Bcosωx（其中A、B、ω是非零常数，且ω＞0）的最小正周期为2，且当x=
1
3
时，f（x）取得最大值2．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数f（x+
1
6
）的单调递增区间，并指出该函数的图象可以由函数y=2sinx，x∈R的图象经过怎样的变换得到？
（3）在闭区间[
21
4
，
23
4
]上是否存在f（x）的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，则说明理由．
（2009•荆州模拟）已知函数f（x）=
x2+1
-1
x
（x＞0），数列{an}满足a1=a＞0，且an+1=f（an）（n∈N*）．
（1）求函数y=f（x）的反函数；
（2）若数列{an}的前n项和为Sn，求证：Sn＜2a．
（3）若a=1，求证：an＞2-n．

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