Question

已知函数f（x）=aln（x+1）+（x+1）²在x=1处有极值．
（1）求实数a值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）试问是否存在实数m，使得不等式m²+tm+e²-14≤f（x）对任意x∈[e-1，e]及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．（e=2.71828…）

Answer 1

分析：（1）先求出f′（x），因为函数在x=1处有极值，所以得f′（1）=0，代入求出a的值即可；
（2）把a的值代入到f（x）中，求出导函数=0时x的值，在函数的自变量的范围中令导函数大于0，求出x的范围即为函数的增区间，令导函数小于0，求出x的范围即为函数的减区间；
（3）根据1＜e-1得到f'（x）＞0，所以x∈[e-1，e]时，f（x）_min=f（e-1），让m²+tm+e²-14≤f（e-1），t∈[-1，1]恒成立，化简后令g（t）=m²+mt-6，得到g（-1）≤0，g（1）≤0，解出解集求出m的范围即可．

解答：解：（1）因为f（x）=aln（x+1）+（x+1）²，
所以f′(x)=

a

x+1

+2x+2．
由f′（1）=0，可得

a

2

+2+2=0，a=-8．
经检验a=-8时，函数f（x）在x=1处取得极值，
所以a=-8．

（2）f（x）=-8ln（x+1）+（x+1）²，f′(x)=

-8

x+1

+2x+2=

2(x-1)(x+3)

x+1

．
而函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表：

由表可知，f（x）的单调减区间为（-1，1），f（x）的单调减区间为（1，+∞）．

（3）∵1＜e-1，∴f'（x）＞0，x∈[e-1，e]时，f（x）_min=f（e-1）=-8+e²
不等式m²+tm+e²-14≤f（x）对任意x∈[e-1，e]及t∈[-1，1]恒成立，
即m²+tm+e²-14≤f（x）_min?m²+tm+e²-14≤-8+e²，
即m²+tm-6≤0对t∈[-1，1]恒成立，
令g（t）=m²+mt-6，?g（-1）≤0，g（1）≤0?

m2+m-6≤0 m2-m-6≤0

，
解得-2≤m≤2为所求．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，以及理解函数恒成立时所取的条件．