Question

（2013•乐山二模）已知函数f（x）=（x²-3x+3）e^x，其定义域为[-2，t]（t＞-2），设f（-2）=m，f（t）=n．
（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；
（Ⅱ）试判断m，n的大小并说明理由；
（Ⅲ）求证：对于任意的t＞-2，总存在x_n∈（-2，t），满足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，并确定这样的x_o的个数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f′（x）=（x²-3x+3）e^x+（2x-3）e^x=x（x-1）e^x，利用导数的性质，能确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数．
（Ⅱ）m＜n．因为f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，所以f（x）在x=1处取得极小值e．由此能得到当t＞-2时，m＜n．
（Ⅲ）由

f′(x0)

ex0

=x02-x0，知x02-x0=

2

3

(t-1)2，令g（x）=x2-x-

2

3

(t-1)2，则问题转化为证明方程g（x）=x²-x-

2

3

(t-1)2=0在（-2，t）上有解，并讨论解的个数．

解答：（Ⅰ）解：∵f（x）=（x²-3x+3）e^x，
∴f′（x）=（x²-3x+3）e^x+（2x-3）e^x=x（x-1）e^x，
由f′（x）＞0，得x＞1，或x＜0；
由f′（x）＜0，得0＜x＜1．
∴f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减．
∵函数f（x）在[-2，t]上为单调函数，
∴-2＜t≤0．
故当t的取值范围是（-2，0]时，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数．
（Ⅱ）解：m＜n．
∵f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，
∴f（x）在x=1处取得极小值e．
又∵f（-2）=

13

e2

＜e，
∴f（x）在[-2，+∞）上的最小值为f（-2）．
故当t＞-2时，f（-2）＜f（t），即m＜n．
（Ⅲ）证明：∵

f′(x0)

ex0

=x02-x0，
∴

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，
∴x02-x0=

2

3

(t-1)2，
令g（x）=x2-x-

2

3

(t-1)2，
则问题转化为证明方程g（x）=x²-x-

2

3

(t-1)2=0在（-2，t）上有解，并讨论解的个数．
∵g（-2）=6-

2

3

（t-1）²=-

2

3

(t+2)(t-4)，
g（t）=t（t-1）-

2

3

(t-1)2=

1

3

(t+2)(t-1)，
∴①当t＞4或-2＜t＜1时，g（-2）•g（t）＜0，
∴g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解；
②当1＜t＜4时，g（-2）＞0，且g（t）＞0，但由于g（0）=-

2

3

(t-1)2＜0，
∴g（x）=0在（-2，t）上有解，且有两解；
③当t=1时，g（x）=x²-x=0，解得x=0，或x=1，
∴g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解；
④当t=4时，g（x）=x²-x-6=0，解得x=-2或x=3．
∴g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解．
综上所述，对于任意的t＞-2，总存在x₀∈（-2，t）满足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，
且当t≥4或-2＜t≤1时，有唯一的x₀适合题意，
当1＜t＜4时，有两个x₀适合题意．

点评：本题考查函数的单调性和函数的最小值的应用，考查满足条件的实数值的个数的判断．综合性强，难度大，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．