Question

（本题满分12分）

已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围；

（3）求证：．

 

Answer 1

【答案】

 

(1) 当时，的单调增区间为，减区间为；

当时，的单调增区间为，减区间为；

当时，不是单调函数.

(2)

（3），证明略。

【解析】（1） ,

当时，的单调增区间为，减区间为；    (1分)

当时，的单调增区间为，减区间为；(1分)

当时，不是单调函数.                         (1分)

（2）得， (1分)

∴，∴

∵在区间上总不是单调函数，且∴

由题意知：对于任意的，恒成立，

所以，，∴     (3分)

（3）令此时，所以，由（Ⅰ）知在上单调递增，

∴当时，即.

∴对一切成立. (2分)

【法一】：∵，则有，∴

【法二】：数学归纳法证明（从略）   (4分)