Question

【题目】设为实常数，函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）设，不等式的解集为，不等式的解集为，当时，是否存在正整数，使得或成立．若存在，试找出所有的m；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) 在上单调递减，在上单调递增．(2)存在，

【解析】

（1）当时得，求导后发现在上单调递增，且，从而得到原函数的单调区间；

（2）令，，利用导数和零点存在定理知存在，使得，再对分和两种情况进行讨论.

解:（1），，

∵在上单调递增，且，

∴在上负,在上正，

故在上单调递减，在上单调递增．

（2）设，

，，单调递增．

又，（也可依据），

∴存在使得，

故在上单调递减，在上单调递增．

又∵对于任意存在使得，

又，且有，

由零点存在定理知存在，使得，

故.

，

令，

由知在上单调递减，

∴当时，

又∵，和均在各自极值点左侧,

结合单调性可知，

当时，，

成立，故符合题意．

当时，，

令，则，

∴当时，．

在上式中令，可得当时，有成立，

令，则，

，恒成立.

故有成立，

知当时，

又∵，在上单调递增，

∴当时，，，

而，∴此时和均不成立.综上可得存在符合题意.