Question

已知数列{a_n}和{b_n}中，数列{a_n}的前项和记做S_n．若点（n，S_n）在函数y=-x²+4x的图象上，点（n，b_n）在函数y=2^x的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用递推公式：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，a₁=S₁，可求
（Ⅱ）由已知得bn=2nanbn=(-2n+5)2n，利用错位相减求和方法可求

解答：解：（Ⅰ）由已知得Sn=-n2+4n（1分）
∵当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-2n+5；       （3分）
又当n=1时，a₁=S₁=3，符合上式           （4分）
∴a_n=-2n+5（5分）
（Ⅱ）由已知得bn=2nanbn=(-2n+5)2n
Tn=3×21+1×22+(-1)×23+…+(-2n+5)2n（7分）       
 2T_n=3×2²+1×2³+…+（-2n+7）2ⁿ+（-2n+5）2ⁿ⁺¹（8分）
两式相减可得Tn=-6+(23+24+…+2n+1)+(-2n+5)2n+1
=

23(1-2n-1)

1-2

+(-2n+5)2n+1-6
=（-2n+7）2ⁿ⁺¹+2（12分）

点评：本题主要考查了利用递推公式当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，a₁=S₁求解数列的通项公式及错位相减求解数列的和的应用．