题目内容
已知盒中装有3个红球和4个黑球，且每球摸到的机会均等．
（Ⅰ）现从该盒中摸3次球，每次摸一个，记下颜色后放回原盒中，问3次中恰有两次摸到红球的概率；
（Ⅱ）若甲、乙两人从该盒中各一次性摸出3个球（摸后不放回），设甲摸到的红球数为m，乙摸到的红球数为n，令X=|m-n|，求X的分布列和数学期望E（X）．
（Ⅰ）现从该盒中摸3次球，每次摸一个，记下颜色后放回原盒中，问3次中恰有两次摸到红球的概率；
（Ⅱ）若甲、乙两人从该盒中各一次性摸出3个球（摸后不放回），设甲摸到的红球数为m，乙摸到的红球数为n，令X=|m-n|，求X的分布列和数学期望E（X）．
分析：（I）由题意可知：每次摸一个球并且放回，则摸到红球的概率p=
．设3次中摸到红球的次数为随机变量ξ，则ξ～B（3，
），即可得出；
（II）由题意可知：X可能取值0，1，2，3．①当甲摸到0个红球时，则乙可能摸到红球的个数为2，3；②当甲摸到1个红球时，则乙可能摸到红球的个数为1，2；③当甲摸到2个红球时，乙可能摸到红球的个数为1；或摸到2个红球乙摸到0个红球两种情况；④当甲摸到3个红球时，则乙可能摸到红球的个数为0．利用相互独立事件和互斥事件的概率计算公式即可得出．
| 3 |
| 7 |
| 3 |
| 7 |
（II）由题意可知：X可能取值0，1，2，3．①当甲摸到0个红球时，则乙可能摸到红球的个数为2，3；②当甲摸到1个红球时，则乙可能摸到红球的个数为1，2；③当甲摸到2个红球时，乙可能摸到红球的个数为1；或摸到2个红球乙摸到0个红球两种情况；④当甲摸到3个红球时，则乙可能摸到红球的个数为0．利用相互独立事件和互斥事件的概率计算公式即可得出．
解答：解：（I）由题意可知：每次摸一个球并且放回，则摸到红球的概率p=
．
设3次中摸到红球的次数为随机变量ξ，则ξ～B（3，
），
∴3次中恰有两次摸到红球的概率P=
(
)2(1-
)=
．
（II）由题意可知：X可能取值0，1，2，3．
①当甲摸到0个红球时，则乙可能摸到红球的个数为2，3；
②当甲摸到1个红球时，则乙可能摸到红球的个数为1，2；
③当甲摸到2个红球时，乙可能摸到红球的个数为1；或摸到2个红球乙摸到0个红球两种情况；
④当甲摸到3个红球时，则乙可能摸到红球的个数为0．
因此X=0表示的是甲乙两个人都摸到一个红球时，
∴P（X=0）=
=
．
X=1表示的是甲摸到一个红球乙摸到两个红球，甲摸到两个红球乙摸到一个红球两种情况：
∴P（X=1）=
+
=
．
X=2表示的是甲摸到0个红球乙摸到两个红球，甲摸到2个红球乙摸到0个红球两种情况：
∴P（X=2）=
+
=
．
X=3表示的是甲摸到0个红球乙摸到3个红球，甲摸到3个红球乙摸到0个红球两种情况：
P（X=3）=
+
=
．
故X的分布列为：
| 3 |
| 7 |
设3次中摸到红球的次数为随机变量ξ，则ξ～B（3，
| 3 |
| 7 |
∴3次中恰有两次摸到红球的概率P=
| C | 2 3 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
| 7 |
| 108 |
| 343 |
（II）由题意可知：X可能取值0，1，2，3．
①当甲摸到0个红球时，则乙可能摸到红球的个数为2，3；
②当甲摸到1个红球时，则乙可能摸到红球的个数为1，2；
③当甲摸到2个红球时，乙可能摸到红球的个数为1；或摸到2个红球乙摸到0个红球两种情况；
④当甲摸到3个红球时，则乙可能摸到红球的个数为0．
因此X=0表示的是甲乙两个人都摸到一个红球时，
∴P（X=0）=
| ||||||||
|
| 9 |
| 35 |
X=1表示的是甲摸到一个红球乙摸到两个红球，甲摸到两个红球乙摸到一个红球两种情况：
∴P（X=1）=
| ||||||||
|
| ||||||||
|
| 18 |
| 35 |
X=2表示的是甲摸到0个红球乙摸到两个红球，甲摸到2个红球乙摸到0个红球两种情况：
∴P（X=2）=
| ||||||
|
| ||||||
|
| 6 |
| 35 |
X=3表示的是甲摸到0个红球乙摸到3个红球，甲摸到3个红球乙摸到0个红球两种情况：
P（X=3）=
| ||||
|
| ||||
|
| 2 |
| 35 |
故X的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| p |
|
|
|
|
点评：本题考查了二项分布列、相互独立事件和互斥事件的概率计算公式及其数学期望，属于难题．
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