Question

【题目】已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程．
（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=1﹣ ．

当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，f′（x）=1﹣ （x＞0），所以f（1）=1，f'（1）=﹣1，

所以y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0

（2）解：由f′（x）=1﹣ = ，x＞0可知：

①当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；

②当a＞0时，由f'（x）=0，解得x=a；

因为x∈（0，a）时，f'（x）＜0，x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0，

所以f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值．

综上：当a≤0时，函数f（x）无极值，

当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值

【解析】（1）利用导数求出在点A（1，f（1））处的导数值即为切线的斜率根据点斜式求出方程。（2）求出导函数，根据导函数的性质得出当a＞0时，由f'（x）=0，解得x=a，然后再由f'（x）在x=a处两边的值的正负判断得出f（x）在x=a处取得极小值即为f（a）=a﹣alna。
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的极值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．