Question

（2012•西城区一模）在直角坐标系xOy中，动点A，B分别在射线y=

3

3

x (x≥0)和y=-

3

x (x≥0)上运动，且△OAB的面积为1．则点A，B的横坐标之积为

3

2

；△OAB周长的最小值是

2(1+

2

)

．

Answer 1

分析：根据题意，OA、OB的斜率之积为-1，得OA⊥OB．设A（x₁，

3

3

x₁），B（x₂，-

3

x₂），算出|OA|=

2 3

3

x₁，|OB|=2x₂，结合三角形面积为1列式，化简即得x₁x₂=

3

2

．再由基本不等式算出△OAB周长|OA|+|OB|+|AB|≥2+2

2

，当且仅当

2 3

3

x₁=2x₂=

2

时，△OAB周长取最小值2（1+

2

）．

解答：解：∵y=

3

3

x的斜率k₁=

3

3

，y=-

3

x的斜率k₂=-

3

∴k₁•k₂=-1，可得OA⊥OB
设A（x₁，

3

3

x₁），B（x₂，-

3

x₂）
∴|OA|=

x12+ 1 3 x12

=

2 3

3

x₁，|OB|=

x22+3x22

=2x₂，
可得△OAB的面积为S=

1

2

|OA|×|OB|=

1

2

×

2 3

3

x₁×2x₂=1
解之，得x₁x₂=

3

2

∵|AB|²=|OA|²+|OB|²=

4

3

x₁²+4x₂²
∴|AB|=

( 4 3 x12+4x22)

≥

2× 2 3 3 x1×2x2

=

8 3 3 x1x2

 =

8 3 3 × 3 2

 =2
又∵|OA|+|OB|=

2 3

3

x₁+2x₂≥2

2 3 3 x1×2x2

=2

4 3 3 x1x2

=2

4 3 3 × 3 2

=2

2

∴△OAB周长|OA|+|OB|+|AB|≥2+2

2

=2（1+

2

）
当且仅当

2 3

3

x₁=2x₂=

2

，即x₁=

6

2

，x₂=

2

2

时，△OAB周长取最小值2（1+

2

）
故答案为：

3

2

，2（1+

2

）

点评：本题给出互相垂直的射线OA、OB上两点A、B，在已知△OAB的面积为1的情况下，求三角形周长的最小值．着重考查了直线的斜率、两直线的位置关系和用基本不等式求最值等知识，属于中档题．