题目内容

已知椭圆C₁： $数学公式$ + $数学公式$ =1（a＞b＞0），的右焦点为F，上顶点为A，P为C₁上任一点，圆心在y轴上的圆C₂与斜率为-1的直线l切于点B（- $数学公式$ ，3- $数学公式$ ），且AF∥l．
（1）求圆的方程及椭圆的离心率．
（2）过P作圆C₂的切线PE，PG，若 $数学公式$ $数学公式$ 的最小值为- $数学公式$ ，求椭圆的方程．

解：（1）由圆心在y轴上的圆C₂与斜率为1的直线l切于点B（- $\text{[math]}$ ），所以圆心在过B且垂直于l的直线y=x+3上，又圆心在y轴上，则圆心C₂（0，3），
圆心到直线l：y=-x+3- $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ ，所以所求圆C2方程为：x²+（y-3）²=1，又AF∥l，F（c，0），A（0，b），所以有 $\text{[math]}$ ，即b=c，椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ；
（2）设∠EC₂G=2a，则 $\text{[math]}$ =cos2α=2cos²α-1，
在Rt△PC₂E中， $\text{[math]}$ ，由椭圆的几何性质有： $\text{[math]}$ ，
cosα= $\text{[math]}$ ，所以有 $\text{[math]}$ ，因b＞0，所以b=2，
所以椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由圆心在y轴上的圆C₂与斜率为1的直线l切于点B（- $\text{[math]}$ ），所以圆心在过B且垂直于l的直线y=x+3上，又圆心在y轴上，则圆心C₂（0，3），圆心到直线l：y=-x+3- $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ ，由此能求出椭圆的离心率．
（2）设∠EC₂G=2a，则 $\text{[math]}$ =cos2α=2cos²α-1，在Rt△PC₂E中， $\text{[math]}$ ，由椭圆的几何性质有： $\text{[math]}$ ，由此能求出椭圆的方程．
点评：本题考查椭圆的方程和椭圆的离心率的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设条件，合理运用椭圆性质，恰当进行等价转化．