Question

我们用符号e^iθ表示复数cosθ+isinθ，即e^iθ=cosθ+isinθ（其中e是自然对数的底数，θ的单位是弧度），给出下面三个结论：
①2ei

π

2

=2i；②

eiθ+e-iθ

2

=sinθ；③e^iπ+1=0．以上结论中，正确结论的序号是（　　）

A．①

B．①②

C．①③

D．②③

Answer 1

分析：由e^iθ=cosθ+isinθ，知：①2e t

π

2

=2（cos

π

2

+isin

π

2

）=2i；②

eiθ+e-iθ

2

=

1

2

[（cosθ+isinθ）+cos（-θ）+isin（-θ）]=cosθ；③e^iπ+1=cosπ+isinπ+1=0．

解答：解：①∵e^iθ=cosθ+isinθ，
∴2e t

π

2

=2（cos

π

2

+isin

π

2

）=2i，故①正确；
②∵e^iθ=cosθ+isinθ，
∴

eiθ+e-iθ

2

=

1

2

[（cosθ+isinθ）+cos（-θ）+isin（-θ）]=cosθ，故②不成立；
③∵e^iθ=cosθ+isinθ，
∴e^iπ+1=cosπ+isinπ+1=0，故③正确．
故选C．

点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．