题目内容

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁所有棱长都是2，D是棱AC的中点，E是棱CC₁的中点，AE交A₁D于点H．
（1）求证：AE⊥平面A₁BD；
（2）求二面角D-BA₁-A的大小（用反三角函数表示）
（3）求点B₁到平面A₁BD的距离．

解：（1）证明：以DA所在直线为x轴，过D作AC的垂线为y轴，DB所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则A（1，0，0），C（-1，0，0）
E （-1，-1，0）A₁ （1，-2，0）C₁ （-1，-2，0）B （0，0， $\text{[math]}$ ）
$\text{[math]}$ =（-2，-1，0） $\text{[math]}$ =（-1，2，0） $\text{[math]}$ =（0.0，- $\text{[math]}$ ）

∵ $\text{[math]}$ =2-2+0=0
∵ $\text{[math]}$ =0，∴∴ $\text{[math]}$
即AE⊥A₁D，AE⊥BD，又A₁D∩BD=D
∴AE⊥面A₁BD
（2）设面DA₁B的法向量为 $\text{[math]}$ =（x₁，y₁，z₁）由 $\text{[math]}$
得 $\text{[math]}$ 取 $\text{[math]}$ =（2，1，0）
设面BA₁A的法向量为 $\text{[math]}$ ，
同理由 $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$ =（3.0， $\text{[math]}$ ），
cos＜ $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ ．
由图可知二面角D-BA₁-A为锐二面角，所以它的大小为arccos $\text{[math]}$ ．
（3） $\text{[math]}$ =（0，2，0）平面A₁BD的法向量取 $\text{[math]}$ =（2，1，0）
则点B₁到平面A₁BD的距离d= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）建立空间直角坐标系，利用 $\text{[math]}$ 得到AE⊥A₁D，AE⊥BD，从而证得AE⊥平面A₁BD．
（2）先求出面DA₁B的法向量 $\text{[math]}$ ，面BA₁A的法向量 $\text{[math]}$ ，再利用两法向量夹角与二面角的平面角相等或互补的关系求解即可．
（3）点B₁到平面A₁BD的距离等于 $\text{[math]}$ 在面A₁BD的法向量 $\text{[math]}$ 方向上投影的绝对值．
点评：本题考用空间向量解决直线和平面位置关系、二面角大小，点面距的计算，考查转化的思想方法，空间想象能力，计算能力．属于常规题目．