题目内容

已知函数 $数学公式$ 的定义域为 $数学公式$ ，值域为[-5，4]．
（Ⅰ）求m、n的值；
（Ⅱ）在△ABC中， $数学公式$ ，求函数 $数学公式$ 的值域．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ 可得， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
若m＞0，f（x）∈[-m+n，2m+n]，则 $\text{[math]}$ ，∴m=3，n=-2．
若m＜0，f（x）∈[2m+n，-m+n]，则 $\text{[math]}$ ，m=-3，n=1．
（2）∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
当m=3，n=-2时， $\text{[math]}$ =2sinB+cos2B+3=-2sin²B+2sinB+4= $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，∴sinB∈（0，1]， $\text{[math]}$ ．
当m=-3，n=1时， $\text{[math]}$ =-sinB+cos2B-3=-2sin²B-sinB-2= $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，
∴sinB∈（0，1]，y∈[-5，-2）．
分析：（1）利用三角函数的恒等变换求出函数f（x）的解析式为 $\text{[math]}$ ，分m＞0和m＜0两种情况，根据函数的定义域求出值域，结合值域求出m、n的值．
（2）根据 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，分m=3，n=-2和m=-3，n=1两种情况，根据B的范围求出sinB的范围，从而求出函数的值域．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，用待定系数法求函数的解析式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．