Question

选修4-4：在极坐标系中，已知直线l：ρcos（θ+）=，圆C：ρ=4cosθ，求直线l被圆C截得的弦长．

Answer 1

【答案】分析：将直线l：ρcos（θ+）=化成直角坐标方程为：x-y-3=0，再将圆C：ρ=4cosθ化为直角坐标形式：（x-2）²+y²=4，得到圆C是以点C（2，0）为圆心，半径为2的圆．根据点到直线的距离公式，求得点C到直线l的距离d，最后用垂径定理得到直线l被圆C截得的弦长，即得正确答案．
解答：解：直线l的极坐标方程ρcos（θ+）=，可以化为ρ（cosθcos-sinθsin）=，
∵cos=sin=，
∴直线l的极坐标方程化成最简形式为ρcosθ-ρsinθ=3，
∵直角坐标系中x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴直线l的直角坐标方程为：x-y-3=0，
而对于圆C：ρ=4cosθ，两边都乘以ρ得ρ²=4ρcosθ，
将ρ²=x²+y²和x=ρcosθ代入上式，得x²+y²=4x，化为标准形式：（x-2）²+y²=4，
所以圆C是以点C（2，0）为圆心，半径为2的圆．
由点到直线的距离公式，点C到直线l的距离为：d=，
根据垂径定理，l被圆C截得弦长的一半为：，
所以直线l被圆C截得的弦长为2×=
点评：本题在极坐标系中给出一条直线和一个圆，来求直线被圆截得的弦长，考查了简单曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线与圆的位置关系等知识点，属于中档题．