Question

已知函数f（x）=x²ⁿ+ax的导数f′（x）=2x+3，则数列{

1

f(n)+2

}(n∈N*)的前n项和是（　　）

• A．

  n

  n+1

• B．

  n-1

  2(n+1)

• C．

  n

  2(n+2)

• D．

  n

  (n+1)(n+2)

Answer 1

分析：根据导数确定函数的解析式，再利用裂项法可求数列的和．

解答：解：∵函数f（x）=x²ⁿ+ax的导数f′（x）=2x+3，
∴n=1，a=3
∴函数f（x）=x²+3x
∴

1

f(n)+2

=

1

n2+3n+2

=

1

n+1

-

1

n+2

∴数列{

1

f(n)+2

}(n∈N*)的前n项和是

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

故选C．

点评：本题考查数列求和，考查裂项法的运用，解题的关键是确定函数的解析式，确定数列的通项，运用裂项法求和．