Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)=(x-a)2+(x-b)2+(x-c)2+

(a+b+c)2

3

（a，b，c为实数）的最小值为m，若a-b+2c=3，求m的最小值．

Answer 1

分析：先利用配方法确定f（x）的最小值，再利用柯西不等式，即可求得m的最小值．

解答：解：因为f(x)=(x-a)2+(x-b)2+(x-c)2+

(a+b+c)2

3

=3x2-2(a+b+c)x+a2+b2+c2+

(a+b+c)2

3

=3(x-

a+b+c

3

)2+a2+b2+c2，…（2分）
所以x=

a+b+c

3

时，f（x）取最小值a²+b²+c²，即m=a²+b²+c²，…（5分）
因为a-b+2c=3，由柯西不等式得[1²+（-1）²+2²]•（a²+b²+c²）≥（a-b+2c）²=9，…（8分）
所以m=a2+b2+c2≥

9

6

=

3

2

，
当且仅当

a

1

=

b

-1

=

c

2

，即a=

1

2

，b=-

1

2

，c=1时等号成立，
所以m的最小值为

3

2

． …（10分）

点评：本题考查配方法求函数的最值，考查用柯西不等式的运用，构造用柯西不等式的运用条件是关键．