Question

抛物线y²=4x的焦点为F，点A、B在抛物线上（A点在第一象限，B点在第四象限），且|FA|=2，|FB|=5，
（1）求点A、B的坐标；
（2）求线段AB的长度和直线AB的方程；
（3）在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求这个最大面积．

Answer 1

（1）抛物线的焦点F（1，0），点A在第一象限，设A（x₁，y₁），y₁＞0，
由|FA|=2得x₁+1=2，x₁=1，代入y²=4x中得y₁=2，所以A（1，2），…（2分）；
同理B（4，-4），…（4分）
（2）由A（1，2），B（4，-4）得|AB|=

(1-4)2+(2+4)2

=3

5

…（6分）
直线AB的方程为

y-2

-4-2

=

x-1

4-1

，化简得2x+y-4=0．…（8分）
（3）设在抛物线AOB这段曲线上任一点P（x₀，y₀），且0≤x₀≤4，-4≤y₀≤2．
则点P到直线AB的距离d=

|2x0+y0-4|

1+4

=

|2× y0 2 4 +y0-4|

5

=

| 1 2 (y0+1)2- 9 2 |

5

 …（9分）
所以当y₀=-1时，d取最大值

9 5

10

，…（10分）
所以△PAB的面积最大值为S=

1

2

×3

5

×

9 5

10

=27  …（11分）
此时P点坐标为（

1

4

，-1）．…（12分）