Question

将锐角A=60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，则翻折后AC与BD的距离是

3

4

a

．

Answer 1

分析：如图先找出二面角的平面角，取AC的中点E，连接BE、DE，∠BED=θ，再取BD的中点F，推出EF⊥AC，则折后两条对角线AD与BC之间的距离为EF的长，就是翻折后AC与BD的距离．

解答：解：由题设∠A=60°，边长为a的菱形ABCD，
令E、F分别是BD，AC的中点，因为AE⊥BD，CE⊥BD，BD⊥平面AEC，
∵AE=CE，∴EF⊥BD，
即折后两条对角线AC与BD之间的距离为EF的长，就是翻折后AC与BD的距离．
由题设条件可知在△AEC中，∠AEC=60°，AE=CE=

3

2

a．
在直角三角形AFE中，∠AEF=30°，∠EAF=60°，
故有EF=AE×sin60°=

3

2

a×

3

2

=

3

4

a．
故答案为：

3

4

a．

点评：本题主要考查空间线面关系、二面角的度量等知识，解题的关键是做出二面角的平面角来，本题考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．