Question

设函数f（x）=-x²+2x+a（0≤x≤3）的最大值为m，最小值为n，其中a≠0，a∈R．
（1）求m、n的值（用a表示）；
（2）已知角β的顶点与平面直角坐标系中的原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点A（m-1，n+3）．求sin(β+

π

6

)的值．

Answer 1

分析：（1）把f（x）的解析式配方，根据x的范围，由二次函数的图象与性质即可求出f（x）的最大值和最小值，进而用a表示出m和n；
（2）把求出的m和n代入点A的坐标，利用a表示出点A的坐标，然后分a大于0和小于0两种情况考虑：当a大于0时，利用两点间的距离公式求出点A到原点的距离，根据三角函数的定义求出sinβ和cosβ的值，然后把所求的式子利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将sinβ和cosβ的值代入即可求出值；当a小于0时，同理表示出点A到原点的距离，利用三角函数定义求出sinβ和cosβ的值，后把所求的式子利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将sinβ和cosβ的值代入即可求出值，综上，得到所求式子的所有值．

解答：解：（1）由题可得f（x）=-（x-1）²+1+a，而0≤x≤3（3分）
所以m=f（1）=1+a，n=f（3）=a-3，（6分）
（2）由（1）求出的m和n得：角β终边经过点A（a，a），（7分）
①当a＞0时，r=

a2+a2

=

2

a，
则sinβ=

a

2 a

=

2

2

，cosβ=

a

2 a

=

2

2

，
所以，sin(β+

π

6

)=sinβcos

π

6

+cosβsin

π

6

=

2 + 6

4

；（10分）
②当a＜0时，r=

a2+a2

=-

2

a，
则sinβ=

a

- 2 a

=-

2

2

，cosβ=

a

- 2 a

=-

2

2

，
所以sin(β+

π

6

)=sinβcos

π

6

+cosβsin

π

6

=-

2 + 6

4

，（13分）
综上①②得：sin(β+

π

6

)=-

2 + 6

4

或

2 + 6

4

（14分）

点评：此题考查学生会求二次函数在闭区间上的最值，要求学生掌握任意角的三角函数定义，灵活运用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题．