Question

（2013•红桥区二模）已知椭圆：

x2

a2

+

y2

b2

=l（a＞b＞0）的一个顶点坐标为B（0，1），若该椭圆的离心率等于

3

2

．
（1）求椭圆的方程．
（2）Q是椭圆上位于x轴下方的一点，F₁F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线QF₁的倾斜角为

π

6

，求△QF₁F₂的面积；
（3）以B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，判断这样的三角形存在吗？若存在，有几个？若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）易知b=1，由离心率为

3

2

，得

c

a

=

3

2

，再由a²=b²+c²可求得a，于是得到椭圆方程；
（2）易求直线QF₁的方程，与椭圆方程联立可求得点Q的坐标，由三角形面积公式得S△QF1F2=

1

2

|F1F2||yQ|，代入即可求得答案；
（3）假设这样的三角形存在，设AB的方程为y=kx+1（k＞0），则BC的方程为y=-

1

k

x+1，分别于椭圆方程联立可求得点A、C的横坐标，由|AB|=|BC|得点A、C的横坐标的方程，综上可得关于k的方程，解出即可；

解答：解：（1）依题意，b=1，因为离心率等于

3

2

，
所以

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

1

a2

=

3

4

，解得a²=4，
所以椭圆方程为：

x2

4

+y2=1；
（2）F₁（-

3

，0），直线QF₁：y=

3

3

(x+

3

)，代入

x2

4

+y2=1中，
得xQ=-

8 3

7

，yQ=-

1

7

，又|F1F2|=2

3

，
所以S△QF1F2=

1

2

|F1F2||yQ|=

3

7

；
（3）假设这样的三角形存在，设AB的方程为y=kx+1（k＞0），则BC的方程为y=-

1

k

x+1，
由

y=kx+1 x2+4y2=4

，得（4k²+1）x²+8kx=0，解得xA=-

8k

1+4k2

①，
由

y=- 1 k x+1 x2+4y2=4

，得（k²+4）x²-8kx=0，解得xC=-

8k

4+k2

②，
因为|AB|=|BC|，得：xA2+(yA-1)2=xC2+(yC-1)2，
将y_A=kx_A+1，yC=-

1

k

xC+1代入得：
xA2(1+k2)=xC2(1+

1

k2

)，k2xA2=xC2，
将①②代入得：k²（4+k²）²=（4k²+1）²，即[k（4+k²）+1+4k²][k（4+k²）-（1+4k²）]=0，
因为k＞0，k（4+k²）+1+4k²＞0，得（k-1）（k²-3k+1）=0，
解得k=1，k=

3+ 5

2

，k=

3- 5

2

，
所以存在这样的等腰直角三角形．

点评：本题考查直线方程、椭圆方程及其性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生运用所学知识分析解决问题的能力．