Question

从原点出发的某质点M，按向量a=(0,1)移动的概率为，按向量b=（0，2）移动的概率为，设M可到达点（0，n）的概率为P_n
(1)求P₁和P₂的值；（2）求证：=;(3)求的表达式。

Answer 1

（1）P₁= ，P₂=； （2）证明见解析；（3）(-)ⁿ

（1）P₁= ，P₂=（）²+=
（2）证明：M到达点（0，n+2）有两种情况：①从点（0，n+1）按向量a=（0，1）移动；②从点（0，n）按向量b=（0，2）移动.
∴+     ∴=
（3）数列{}是以P₂-P₁为首项，-为公比的等比数列.
= (P₂-P₁)(-)^n-1=(-)^n-1=(-)ⁿ⁺¹,
∴=(-)ⁿ,
又∵=（）+（）+…+(P₂-P₁)
=(-)ⁿ+(-)^n-1+…+(-)²=()[1- (-)^n-1]
∴+()[1- (-)^n-1]= (-)ⁿ