题目内容

已知：
a
=（sinx，1），
b
=（
3
，cosx），设函数f（x）=
a
•
b
．
（1）求f（x）的周期与最大值；
（2）求f（x）的单调递增区间．
分析：（1）根据向量数量积的坐标运算公式和辅助角公式，化简得f（x）=2sin（x+
π
6
），即可算出函数f（x）的周期与最大值；
（2）由正弦函数的单调区间公式，解关于x的不等式2kπ-
π
2
≤x+
π
6
≤2kπ+
π
2
，(k∈Z)，即可得到f（x）的单调递增区间．
解答：解：（1）∵
a
=（sinx，1），
b
=（
3
，cosx），
∴f（x）=
a
•
b
=
3
sinx+cosx=2sin（x+
π
6
）．
因此，函数f（x）的周期为T=
2π
|ω|
=2π，
∵sin（x+
π
6
）的最大值为1，
∴f（x）=2sin（x+
π
6
）最大值为2；
（2）根据题意，可得
设2kπ-
π
2
≤x+
π
6
≤2kπ+
π
2
，(k∈Z)，
解出2kπ-
2π
3
≤x≤2kπ+
π
3
，(k∈Z)
∴f（x）的单调递增区间为(2kπ-
2π
3
 
 
，
 
 
2kπ+
π
3
)，(k∈Z)．
点评：本题给出f（x）=
a
•
b
，在已知向量
a
、
b
含有三角函数的坐标情况下求f（x）的周期、最大值与求f（x）的单调区间．着重考查向量的数量积公式、三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=（sinx，cosx），
b
=（6sinx+cosx，7sinx-2cosx），设函数f（x）=
a
•
b
-2．
（1）求函数f（x）的最大值，并求取得最大值时x的值；
（2）在A为锐角的△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（A）=4且△ABC的面积为3，b+c=2+3
2
，求a的值．
已知向量
a
=（sinx，-1），
b
=（
3
cosx，-
1
2
），函数f（x）=（
a
+
b
）•
a
-2．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期T：
（Ⅱ）若x∈[
π
6
，
5π
6
]，试求f（x）的取值范围．
（2009•台州一模）已知向量
a
=（sinx，1），
b
=（t，x），若函数f（x）=
a
•
b
在区间[0，
π
2
]上是增函数，则实数t的取值范围是
[-1，+∞）
[-1，+∞）
．
已知向量
a
=(cosx+sinx，sinx)，
b
=(cosx-sinx，2cosx)，设f(x)=
a
•
b
，x∈R．
（I ）化简函数f（x）的解析式并求其最小正周期；
（II）当x∈[0，
π
2
]时，求函数f（x）的最大值及最小值．
已知向量
a
=（sinx，
3
2
），
b
=（cosx，-1），
（Ⅰ）当
a
∥
b
时，求tan2x的值；
（Ⅱ）求函数f（x）=（
a
+
b
）•
b
在[-
π
2
，0]上的值域．

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