Question

已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存过点（2,1）的直线与椭圆相交于不同的两点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

⑴．   ⑵y=1/2x

第一问利用设椭圆的方程为，由题意得
解得
第二问若存在直线满足条件的方程为，代入椭圆的方程得
．
因为直线与椭圆相交于不同的两点，设两点的坐标分别为，
所以
所以．解得。
解：⑴设椭圆的方程为，由题意得
解得，故椭圆的方程为．……………………4分
⑵若存在直线满足条件的方程为，代入椭圆的方程得
．
因为直线与椭圆相交于不同的两点，设两点的坐标分别为，
所以
所以．
又，
因为，即，
所以．
即．
所以，解得．
因为A,B为不同的两点，所以k=1/2．
于是存在直线L₁满足条件，其方程为y=1/2x