Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB边中点，且CC₁=2AB．
（1）求证：平面C₁CD⊥平面ABC；
（2）求二面角C-AB-C₁的平面角的正弦值；
（3）求三棱锥D-CBB₁的体积．

Answer 1

分析：（1）由已知中CC₁⊥平面ABC，由面面垂直的判定定理，即可得到平面C₁CD⊥平面ABC；
（2）由已知中等边三角形ABC中，D为AB边中点，则CD⊥AB，又由CC₁⊥平面ABC，可得AB⊥C₁D，故∠C₁DC为二面角C-AB-C₁的平面角，解Rt△C₁DC，即可得到二面角C-AB-C₁的平面角的正弦值；
（3）由已知中CC₁⊥平面ABC，CC₁∥BB₁，BB₁⊥平面ABC，求出△ABC的面积，代入棱锥的体积公式，即可得到三棱锥D-CBB₁的体积．

解答：解：（1）证明：∵CC₁⊥平面ABC，CC₁?平面C₁CD
∴平面C₁CD⊥平面ABC
（2）在等边三角形ABC中，D为AB边中点
∴CD⊥AB
∵CC₁⊥平面ABC，
AB?平面ABC
∴CC₁⊥AB又
∵CC₁∩CD=C
∴AB⊥平面C₁CD，
又∵C₁D?平面C₁CD
∴AB⊥C₁D
所以，∠C₁DC为二面角C-AB-C₁的平面角
在Rt△C₁DC中，CC₁⊥CD，CC1=AB=4，CD=

22-12

=

3

C1D=

CC12+CD2

=

19

∴sin∠C1DC=

CC1

C1D

=

4

19

=

4 19

19

所以，二面角C-AB-C₁的平面角的正弦值为

4 19

19

；
（3）∵CC₁⊥平面ABC
CC₁∥BB₁
∴BB₁⊥平面ABC
∴VD-CBB1=VB1-BCD=

1

3

•S△BCD•BB1=

1

3

•(

1

2

×1×

3

)•4=

2 3

3

所以，三棱锥D-CBB₁的体积为

2 3

3

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，棱锥的体积公式，平面与平面垂直的判定，其中（1）的关键是由线面垂直得到面面垂直，（2）的关键是证明得∠C₁DC为二面角C-AB-C₁的平面角，（3）的关键是证得BB₁⊥平面ABC．