Question

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1．
（1）求证：CN∥平面AMD；
（2）求该几何体的体积．

Answer 1

解：（1）证明：∵ABCD是正方形，BC∥AD，∴BC∥平面AMD，
又MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB，∴NB∥平面AMD，
所以平面BNC∥平面AMD，故CN∥平面AMD．
（2）解：连接AC、BD，交于O点．
∵ABCD是正方形，∴AO⊥BD，
又NB⊥平面ABCD，AO⊥NB，
∴AO⊥平面MDBN，
因为矩形NDBN的面积S=MD×BD=．
所以四棱锥A-MDBN的体积V=，
同理四棱锥C-MDBN的体积为，
故该几何体的体积为．
分析：（1）证明BC∥平面AMD，NB∥平面AMD，然后证明CN∥平面AMD．
（2）连接AC、BD，交于O点．说明AO⊥平面MDBN，求出底面矩形NDBN的面积S，四棱锥A-MDBN的体积V，即可求解该几何体的体积．
点评：本题考查直线与平面平行的证明方法，几何体的体积的求法，考查空间想象能力计算能力．