Question

18．已知p：“直线x+y-m=0与圆（x-1）²+y²=1相交”；q：“方程x²-x+m-4=0的两根异号”．若p∨q为真，￢p为真，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 若命题p是真命题：“直线x+y-m=0与圆（x-1）²+y²=1相交”，则$\frac{|1+0-m|}{\sqrt{2}}$＜1，解得m范围；若命题q是真命题：“方程x²-x+m-4=0的两根异号”，则m-4＜0，解得m范围．若p∨q为真，￢p为真，则p为假命题，q为真命题．解出即可．

解答 解：若命题p是真命题：“直线x+y-m=0与圆（x-1）²+y²=1相交”，则$\frac{|1+0-m|}{\sqrt{2}}$＜1，解得1-$\sqrt{2}＜m＜1+\sqrt{2}$；
若命题q是真命题：“方程x²-x+m-4=0的两根异号”，则m-4＜0，解得m＜4．
若p∨q为真，￢p为真，
则p为假命题，q为真命题．
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≤1-\sqrt{2}或m≥1+\sqrt{2}}\\{m＜4}\end{array}\right.$．
∴实数m的取值范围是$m≤1-\sqrt{2}$或$1+\sqrt{2}≤m＜4$．

点评 本题考查了复合命题真假的判定方法、直线与圆的位置关系、一元二次的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．