Question

过点（0，4）的直线与双曲线

x2

4

-

y2

12

=1的右支交于A，B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是（　　）

• A．(

  3

  ，

  7

  )
• B．(-

  7

  ，-

  3

  )
• C．(

  3

  ，+∞)∪(-∞，-

  3

  )
• D．(-

  7

  ，-

  3

  )∪(

  3

  ，

  7

  )

Answer 1

分析：如图：设过点（0，4）且与双曲线相切的直线为 l₁，过点（0，4）且与渐近线y=-

3

x平行的直线为l₂．则直线AB的斜率k 应大于l₁的斜率且小于l₂的斜率．把直线 l₁ 的方程代入双曲线的方程化简，由△=0，解得l₁的斜率为 -

7

，从而得到斜率k 的范围．

解答：解：如图所示：过点（0，4）且与双曲线相切的直线为 l₁，过点（0，4）且与渐近线y=-

3

x平行的直线为l₂．
则直线AB的斜率k 应大于l₁的斜率且小于l₂的斜率．
设直线 l₁ 的方程为y-4=k′（x-0），代入双曲线的方程化简得 （3-k²） x²-8kx-28-0．
由题意可得判别式△=0，解得 k′=-

7

，或 k′=

7

 （舍去）．
而l₂的斜率等于-

3

，故直线AB的斜率k满足 -

7

＜k＜-

3

．
故选：B．

点评：本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，判断直线AB的斜率k 应大于l₁的斜率且小于l₂的斜率，是解题的关键．