Question

过点（0，4）的直线与双曲线的右支交于A，B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：如图：设过点（0，4）且与双曲线相切的直线为 l₁，过点（0，4）且与渐近线y=-x平行的直线为l₂．则直线AB的斜率k 应大于l₁的斜率且小于l₂的斜率．把直线 l₁ 的方程代入双曲线的方程化简，由△=0，解得l₁的斜率为 ，从而得到斜率k 的范围．
解答：解：如图所示：过点（0，4）且与双曲线相切的直线为 l₁，过点（0，4）且与渐近线y=-x平行的直线为l₂．
则直线AB的斜率k 应大于l₁的斜率且小于l₂的斜率．
设直线 l₁ 的方程为y-4=k′（x-0），代入双曲线的方程化简得 （3-k²） x²-8kx-28-0．
由题意可得判别式△=0，解得 k′=，或 k′= （舍去）．
而l₂的斜率等于-，故直线AB的斜率k满足 ＜k＜．
故选：B．

点评：本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，判断直线AB的斜率k 应大于l₁的斜率且小于l₂的斜率，是解题的关键．