Question

将圆x²+y²=4压扁得到椭圆C，方法是将该圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的

3

2

倍．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左焦点为F₁，右焦点F₂，直线l过点F₁且垂直于椭圆的长轴，点P为直线l上的动点，过点P且垂直于l的动直线l₁与线段PF₂垂直平分线交于点M，求点M的轨迹C′的方程；
（3）是否存在过点（0，-2）的直线l₂与椭圆C相交于A、B两点，使以AB为直径的圆过点O（O是坐标原点），若存在，求直线l₂的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）∵圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的

3

2

倍．
∴a=2，b=

3

，再判断焦点位置，即可求出椭圆方程．
（2）利用直接法，设点M坐标，再找到|MP|=|MF₂|，转化为含M点坐标的等式，化简即可．
（3）先假设存在过点（0，-2）的直线l₂与椭圆C相交于A、B两点，使以AB为直径的圆过点O（O是坐标原点），
则OA⊥OB，再直线l₂方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，以及OA⊥OB来解即可．

解答：解：（1）设所求椭圆上的任意点的坐标为（x，y），圆上的对应点为（x′，y′），
依题意得

x=x/ y= 3 2 y/

∴

x/=x y/= 2 3 3 y

，x^/2+y^/2=4，
∴x2+

4y2

3

=4，∴

x2

4

+

y2

3

=1
（2）依题意|MP|=|MF₂|，F₂（1，0），l：x=-1，M(x，y)，

(x-1)2+y2

=|x+1|，
化简得点M的轨迹方程为y²=4x
（3）假设存在直线l₂满足条件，显然直线l₂的斜率存在，设其方程为y=kx-2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
依题意得OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∵y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0
由方程组得 

y=kx-2 x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²-16kx+4=0，则x1+x2=

16k

3+4k2

，x1x2=

4

3+4k2

∴

4(1+k2)

3+4k2

-2k×

16k

3+4k2

+4=0，整理得k2=

4

3

，k=±

2 3

3

，
又△＞0，∴k2＞

1

4

，∴k=±

2 3

3

符合题意．
所以存在直线l₂方程为y=±

2 3

3

x-2

点评：本题考查了直线与椭圆的位置关系，以及直接法求轨迹方程，属常规题，应该掌握．