Question

【题目】已知椭圆的焦距为，点关于直线的对称点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，过点的直线与椭圆交于两个不同的点（点在点的上方），试求面积的最大值；

（3）若直线经过点，且与椭圆交于两个不同的点，是否存在直线（其中），使得到直线的距离满足恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）1；（3）存在，4.

【解析】

（1）根据椭圆的焦距求出c，由P（0，2）关于直线y＝﹣x的对称点在椭圆Γ上可得a＝2，即可求出b2，可得椭圆方程；

（2）设过点P（0，2）的直线方程为y＝mx+2，代入椭圆方程，运用韦达定理，弦长公式和点到直线的距离，表示出三角形的面积，再根据函数的性质即可求出最值；

（3）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），代入椭圆方程，运用韦达定理，假设存在这样的直线l0，运用点到直线的距离公式和两点的距离公式，可得，化简整理代入，即可判断．

（1）点关于直线的对称点为，

因为在椭圆上，所以，又，故，

则．所以，椭圆的方程为．

（2）由题意，直线的斜率存在，设的方程为，

由得，

由△，得．

设，，则，，且，

，

所以，

．

令，则，所以，，

因为（当且仅当时等号成立），此时．

所以，当且仅当，即时，△的面积取最大值．

（3）当直线的斜率不存在时，的方程为，此时，，

等式成立；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

由得，

span>设，，则，，

由题意，与一个小于，另一个大于，不妨设，

则

，

所以，，

即，解得．

综上，存在满足条件的直线，使得恒成立．