Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上且过点，离心率是．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l过点E（-1，0）且与椭圆C交于A，B两点，若|EA|=2|EB|，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），利用所给条件列出方程组，解出即可；
（2）易判断直线l不存在斜率时不合题意，当直线存在斜率时，设直线l的方程为y=k（x+1），与椭圆方程联立方程组消掉y得关于x的一元二次方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由|EA|=2|EB|可得关于x₁，x₂的方程，连同韦达定理联立方程组即可求得k值；
解答：解：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0）．
由已知可得，解得a²=4，b²=1．
故椭圆C的标准方程为．
（2）由已知，①若直线l的斜率不存在，则过点E（-1，0）的直线l的方程为x=-1，
此时，显然|EA|=2|EB|不成立．
②若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x+1）．
则，整理得（4k²+1）x²+8k²x+4k²-4=0．
由△=（8k²）²-4（4k²+1）（4k²-4）=48k²+16＞0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
故，①． ②
因为|EA|=2|EB|，所以，则x₁+2x₂=-3．③
①②③联立解得．            
所以直线l的方程为和．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的标准方程的求解，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，有一定综合性．