Question

已知f（x）是定义在实数集上的函数，且f(x+2)=

1+f(x)

1-f(x)

，若f(1)=2+

3

，则f（2005）=

3

-2

．

Answer 1

分析：根据题意可得：f(x+4)=

1+f(x+2)

1-f(x+2)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=-

1

f(x)

，即可得到f(x+8)=-

1

f(x+4)

=f(x)，所以f（2005）=f（5）=-

1

f(1)

，再结合题意即可得到答案．

解答：解：因为f(x+2)=

1+f(x)

1-f(x)

，
所以f(x+4)=

1+f(x+2)

1-f(x+2)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=-

1

f(x)

，
所以f(x+8)=-

1

f(x+4)

=f(x)，
所以f（x）是定义在实数集上周期为8的函数，
所以f（2005）=f（5）=-

1

f(1)

，
因为f(1)=2+

3

，
所以f（2005）=f（5）=-

1

f(1)

=

3

-2．
故答案为：

3

-2．

点评：本题主要考查利用仿写的方法求出函数的周期，像这种计算较大自变量的函数值时一般先根据题意求出函数的周期，再利用周期的有关性质进行解题．