Question

把边长为2的正三角形ABC沿BC上的高AD折成直二面角，设折叠后BC的中点为P，
（I）求异面直线AC，PD所成的角的余弦值；
（II）求二面角C-AB-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以D为坐标原点，DB、AD、DC所在直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系，求出向量

AC

和

DP

的坐标，利用向量的夹角公式即可求出所成角；
（Ⅱ）要求二面角C-AB-D的大小，即分别求出两平面的法向量，然后利用向量的夹角公式即可求出法向量的夹角，从而求出二面角的大小．

解答：解：（I）如图，以D为坐标原点，DB、AD、DC所在直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系．则A(0，-

3

，0)，B(1，0，0)，C(0，0，1)，P(

1

2

，0，

1

2

)，D(0，0，0)）
∴

AC

=(0，

3

，1)，

PD

=(

1

2

，0，

1

2

)
∴cos＜

AC

，

DP

＞=

AC • DP

| AC || DP |

=

2

4

所以，异面直线AC与BD所成角的余弦值为

2

4

（II）面DAB的一个法向量为

n1

=(0，0，1)
设面ABC的一个法向量

n2

=(x，y，z)，
则

n1 • AC =0 n2 • AB =0

?

3 y+z=0 x+ 3 y=0

，
取

n2

=(3，-

3

，3)，
则∴cos＜

n1

，＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

21

7

∴二面角C-AB-D的大小为arccos

21

7

点评：本小题主要考查异面直线所成的角，以及空间向量和二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．