Question

把边长为2的正三角形ABC沿BC上的高AD折成直二面角，设折叠后BC的中点为P，
（I）求异面直线AC，PD所成的角的余弦值；
（II）求二面角C-AB-D的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）以D为坐标原点，DB、AD、DC所在直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系，求出向量和的坐标，利用向量的夹角公式即可求出所成角；
（Ⅱ）要求二面角C-AB-D的大小，即分别求出两平面的法向量，然后利用向量的夹角公式即可求出法向量的夹角，从而求出二面角的大小．
解答：解：（I）如图，以D为坐标原点，DB、AD、DC所在直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系．则）
∴，
∴
所以，异面直线AC与BD所成角的余弦值为
（II）面DAB的一个法向量为
设面ABC的一个法向量，
则，
取，
则∴
∴二面角C-AB-D的大小为
点评：本小题主要考查异面直线所成的角，以及空间向量和二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．