题目内容

过原点O作圆x²+y²-2x-4y+4=0的任意割线交圆于P₁，P₂两点，求P₁P₂的中点P的轨迹．

解：设割线OP₁P₂的直线方程为y=kx代入圆的方程，
得：x²+k²x²-2x-4kx+4=0
即（1+k²）x²-2（1+2k）x+4=0
设两根为x₁，x₂即直线与圆的两交点的横坐标；
由韦达定理得：
$\text{[math]}$
又设P点的坐标是（x，y）
P是P₁P₂的中点，所以 $\text{[math]}$
又P点在直线y=kx上，
∴ $\text{[math]}$ ，代入上式得 $\text{[math]}$
两端乘以 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$
即x²+y²=x+2y
$\text{[math]}$
这是一个一点 $\text{[math]}$ 为中心，以 $\text{[math]}$ 为半径的圆，
所求轨迹是这个圆在所给圆内的一段弧．
分析：设割线OP₁P₂的直线方程为y=kx与圆的方程联立得（1+k²）x²-2（1+2k）x+4=0，再由韦达定理得： $\text{[math]}$ ，因为P是P₁P₂的中点，所以 $\text{[math]}$ ，再由P点在直线y=kx上，得到 $\text{[math]}$ ，代入上式得 $\text{[math]}$ 整理即可．要注意范围．
点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，韦达定理，中点坐标公式及点的轨迹方程．

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过原点O作圆x²+y²-8x=0的弦OA．
（1）求弦OA中点M的轨迹方程；
（2）如果M（x，y）是（1）中的轨迹上的动点，
①求T=x²+y²+4x-6y的最大、最小值；
②求N=

的最大、最小值．

（2011•上海模拟）在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆C：

=1 (a＞b＞0)的左、右顶点分别为A、B，椭圆C的右焦点为F，过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S，若线段RS的长为

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C上存在两个不同的点关于直线l：y=9x+m对称，求实数m的取值范围．
（3）若P为椭圆C在第一象限的动点，过点P作圆x²+y²=5的两条切线PA、PB，切点为A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N，求△MON（O为坐标原点）面积的最小值．

过原点O作圆x²＋y²－8x＝0的弦OA．

(1)求弦OA中点M的轨迹方程；

(2)如点M(x，y)是(1)中的轨迹上的动点；

①求T＝x²＋y²＋4x－6y的最大、最小值；

②求N＝的最大、最小值．

过原点O作圆x²+y²-8x=0的弦OA．
（1）求弦OA中点M的轨迹方程；
（2）如果M（x，y）是（1）中的轨迹上的动点，
①求T=x²+y²+4x-6y的最大、最小值；
②求N= $数学公式$ 的最大、最小值．

过原点O作圆x²+y²-8x=0的弦OA．
（1）求弦OA中点M的轨迹方程；
（2）如果M（x，y）是（1）中的轨迹上的动点，
①求T=x²+y²+4x-6y的最大、最小值；
②求N=

的最大、最小值．