Question

4．已知锐角三角形ABC的三边为连续整数，且角A、B满足A=2B．
（1）求角B的取值范围及△ABC三边的长；
（2）求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）根据三角形三边长为连续的正整数，设中间的边长为n，表示出前一个和后一个边长，由A=2B，利用内角和定理表示出C，把A=2B代入可用B表示出C，由B的范围，得到A的范围，可得到C的范围，进而得到三个角的大小关系，根据大角对大边可得n+1为角A的对边，n-1为B的对边，利用正弦定理列出关系式，把A=2B代入并利用二倍角的正弦函数公式化简，可表示出cosB，再利用余弦定理表示出cosB，两者相等列出关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值，进而求出cosB的值，由B为锐角，利用反函数定义即可表示出B；
（2）由（1）求出cosB的值及B为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由a与c的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积．

解答 解：（1）设△ABC的三边为n-1，n，n+1（n≥3，n∈N），
由题设A=2B得：C=π-A-B=π-3B，
由题意$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{4}$，得$\frac{π}{3}$＜A＜$\frac{π}{2}$，C∈（$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$），
所以A＞C＞B，得角B所对的边为n-1，角A所对的边为n+1，
故有$\frac{n-1}{sinB}$=$\frac{n+1}{sin2B}$，
得cosB=$\frac{n+1}{2n-1}$，又cosB=$\frac{{n}^{2}+（n+1）^{2}-（n-1）^{2}}{2n（n+1）}$，
得$\frac{n+1}{2n-1}$=$\frac{{n}^{2}+{（n+1）}^{2}-{（n-1）}^{2}}{2n（n+1）}$，
解得n=5，
故△ABC的三边长为4，5，6，
得cosB=$\frac{3}{4}$，从而B=arccos$\frac{3}{4}$；
（2）由B=arccos$\frac{3}{4}$，得到cosB=$\frac{3}{4}$，又B为锐角，
∴sinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，又a=6，c=5，
则S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{15\sqrt{7}}{4}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．