Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁，AC⊥BC，点D是AB的中点，则直线B₁B和平面CDB₁所成角的正切值为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：以D为坐标原点，以CA，CB，CC₁为X，Y，Z轴正方向，建立空间坐标系，令AC=BC=CC₁=2，我们易求出几何体中各顶点的坐标，及而求出直线B₁B的方向向量和平面CDB₁的法向量，代入向量夹角公式，求出直线B₁B和平面CDB₁所成角的正弦值，再由同有三角函数关系，即可求出直线B₁B和平面CDB₁所成角的正切值．
解答：以D为坐标原点，以CA，CB，CC₁为X，Y，Z轴正方向，建立空间坐标系，令AC=BC=CC₁=2
则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），D（1，1，0），B₁（0，2，2）
则=（0，0，-2），=（1，1，0），=（0，2，2）
设=（x，y，z）为平面CDB₁的一个法向量
则，即
令x=1则=（1，-1，1）
则cos==-
设直线B₁B和平面CDB₁所成角为θ
则sinθ=，cosθ=
则tanθ=
故选D
点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中建立适当的空间直角坐标系，将空间线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．