Question

3．已知函数f（x）=lnx+$\frac{a-1}{2}$x²-ax，a∈R；
（1）当a＜2时，讨论f（x）的单调区间；
（2）当f（x）在区间（2，+∞）上单调递增时，比较e^a-1与a^e-1的大小．
（3）证明：对n∈N^*，不等式$\frac{1}{ln2}$+$\frac{1}{ln3}$+…+$\frac{1}{ln2015}$＞$\frac{2014}{2015}$成立．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．
（2）构造函数，求函数的导数，利用函数单调性进行判断即可．
（3）构造函数f（x）=x²-x-lnx，求函数的导数，构造不等式，利用放缩法进行证明即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$+（a-1）x-a=$\frac{[（a-1）x-1]（x-1）}{x}$，（x＞0），
①1＜a＜2即0＜a-1＜1时：$\frac{1}{a-1}$＞1，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{a-1}$或x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜$\frac{1}{a-1}$，
∴f（x）在（0，1），（$\frac{1}{a-1}$，+∞）递增，在（1，$\frac{1}{a-1}$）递减，
②a=1即a-1=0时：f′（x）=-$\frac{x-1}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
③a＜1即a-1＜0时：
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；
（2）构造函数h（x）=x-（e-1）lnx-1，则h′（x）=1-$\frac{e-1}{x}$，
由h′（x）=1-$\frac{e-1}{x}$=0，解得x=e-1，
当0＜x＜e-1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，
当x＞e-1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，
h（1）=h（e）=0，
根据题意，f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，
则f′（x）=$\frac{1}{x}$+（a-1）x-a=$\frac{（a-1）{x}^{2}-ax+1}{x}$=$\frac{[（a-1）x-1]（x-1）}{x}$＞0，
①当$1＜\frac{1}{a-1}＜2$时，即a＜1（舍去）或$\frac{3}{2}$＜a＜2，
②当$\frac{3}{2}$＜a＜e-1时，根据h（x）在0＜x＜e-1时单调递减，得h（a）＜h（1）=0，
即h（a）=a-1-（e-1）lna＜0，
即a-1＜（e-1）lna，即e^a-1＜a^e-1，
③当e-1＜a＜2时，根据h（x）在x＞e-1时单调递增，得h（a）＜h（e）=0，
即h（a）=a-1-（e-1）lna＜0，
即a-1＜（e-1）lna，即e^a-1＜a^e-1．
（3）构造函数f（x）=x²-x-lnx，
当x＞1时，f′（x）=2x-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-x-1}{x}$=$\frac{2（x-\frac{1}{4}）^{2}-\frac{7}{8}}{x}$，
则当x＞1时，f′（x）＞f′（1）=2-1-1=0，
即此时lnx＜x²-x，
则当x＞1时，可以变换为 $\frac{1}{lnx}$＞$\frac{1}{{x}^{2}-x}$=$\frac{1}{x（x-1）}$，
即$\frac{1}{lnx}$＞$\frac{1}{{x}^{2}-x}$=$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x}$，
则$\frac{1}{ln2}$+$\frac{1}{ln3}$+…+$\frac{1}{ln2015}$＞1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+$$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$=1-$\frac{1}{2015}$=$\frac{2014}{2015}$．

点评 本题主要考查函数单调性和导数之间的应用，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．利用构造法是解决本题的难点．